专题二：二分法

前言

本文主要介绍二分法是什么，二分法的原理，二分法的模板以及使用场景，并且会举一些例题和蓝桥杯真题辅助理解。

是什么

官方版：二分查找是一个时间效率极高的算法，尤其是面对大量的数据时，其查找效率是极高，时间复杂度是log(n)。主要思想就是不断的对半折叠，每次查找都能除去一半的数据量，直到最后将所有不符合条件的结果都去除，只剩下一个符合条件的结果。

精简版：二分区间快速高效找到结果。

模板

查找大于等于/大于key的第一个元素

这种通常题目描述为满足某种情况的最小的元素。

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cpp
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   int left = 1,right = n;
    while(left < right)
    {
        //这里不需要加1。我们考虑如下的情况，最后只剩下A[i],A[i + 1]。
        //首先mid = i，如果A[mid] > key，那么right = left = i，跳出循环，如果A[mid] < key，left = right = i + 1跳出循环，所有不会死循环。
        int mid = (left + right) / 2;
        if(A[mid] > key)//如果要求大于等于可以加上等于，也可以是check(A[mid])
            right = mid;
        //因为找的是大于key的第一个元素，那么比A[mid]大的元素肯定不是第一个大于key的元素，因为A[mid]已经大于key了，所以把mid+1到后面的排除
        else
            left = mid + 1;
        //如果A[mid]小于key的话，那么A[mid]以及比A[mid]小的数都需要排除，因为他们都小于key。不可能是第一个大于等于key的元素，
    }

查找小于等于/小于key的最后一个元素

这种通常题目描述为满足某种情况的最大的元素.

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cpp
复制代码
    int left = 1, right = n;
    while(left < right)
    {
        //这里mid = (left + right + 1) / 2;
        //考虑如下一种情况，最后只剩下A[i],A[i + 1]，如果不加1，那么mid = i，如果A[mid] < key，执行更新操作后，left = mid，right = mid + 1，就会是死循环。
        //加上1后，mid = i + 1,如果A[mid] < key，那么left = right = mid + 1,跳出循环。如果A[mid] > key，left = mid = i，跳出循环。
        int mid = (left + right + 1) / 2;
        if(A[mid] < key)
            left = mid;//如果A[mid]小于key，说明比A[mid]更小的数肯定不是小于key的最大的元素了，所以要排除mid之前的所有元素
        else
            right = mid - 1;//如果A[mid]大于key，那么说明A[mid]以及比A[mid]还要大的数都不可能小于key，所以排除A[mid]及其之后的元素。
    }

判断二分的特性

单调性：数组具有明显的单调性
二段性：答案在一段区间内，二分答案

二分思考顺序

首先通过题目背景和check(mid)函数的逻辑，判断答案落在左半区间还是右半区间。

左右半区间的划分方式一共有两种：

中点mid属于左半区间，则左半区间是[l, mid]，右半区间是[mid+1, r]，更新方

式是r = mid;或者 l = mid + 1;，此时用第一个模板；

中点mid属于右半区间，则左半区间是[l, mid-1]，右半区间是[mid, r]，更新方

式是r = mid - 1;或者 l = mid;，此时用第二个模板

（第一个找符合要求的最小值，第二个找符合要求的最大值）

力扣704：二分查找

代码

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cpp
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class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {

        int l=0,r=nums.size()-1;
        while(l<r){
            int mid=(l+r)/2;
            if(nums[mid]>=target) r=mid;
            else l=mid+1;
        }
        if(nums[l]==target) return l;
        return -1;
    
    }
};

题解

本题就是对模板的理解以及运用，属于是二分查找类型，因此用模板1或者模板2都是可以的，并不涉及最大值与最小值的问题。

数的范围

代码

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cpp
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=100010;
int q[N];
int n,m;

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>q[i];
    
    while(m--)
    {
        int x;
        cin>>x;
        int l=0,r=n-1;
        while(l<r)
        {
            int mid=l+r >>1;
            if(q[mid]>=x) r=mid;
            else l=mid+1;
        }
        
        if(q[l]!=x) cout<<"-1 -1"<<endl;
        else{
            cout<<l<<" ";
            int l=0,r=n-1;
            while(l<r)
            {
                int mid=l+r+1>>1;
                if(q[mid]<=x) l=mid;
                else r=mid-1;
            }
            
            cout<<l<<endl;
        }
    }
}

题解

本题中的“起始位置”以及“最终位置”就分别对应最小值和最大值，因此对模板的理解要到位，第一个模板更新r向左边找的是找出最小值，第二个则是最大值，当然有可能是相等的情况以及找不到的情况。

我在哪？

代码

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cpp
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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
string str;
unordered_set<string> S;

//找到任何两个长度为k的子串都不互相同
//知识点：判断某个串是否只出现一次可以用哈希表

bool check(int mid)
{
    for(int i=0;i+mid-1<n;i++)//区间大小为mid
    {
        string s=str.substr(i,mid);//取出子串
        if(S.count(s)) return false;
        S.insert(s);
    }
    
    return true;
}
    
int main()
{
    cin>>n;
    cin>>str;
    int l=1,r=n;//答案的区间
    while(l<r)
    {
        int mid=l+r >> 1;
        if(check(mid)) r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    
    cout<<l<<endl;
}

题解

注意到本题属于是二分答案类型，答案是在一个区间里的，再根据题意要求出最小值选用第一个模板即可，

本题需要掌握一个哈希表的知识点，可以用来快速判重，下次出一个专门的stl使用技巧，总结出所有常用的库以及函数。

思维点：找到任何两个长度为k的子串都不互相同

分巧克力

代码

▼
cpp
复制代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=100010;
int w[N], h[N];//存储长、宽
int n,k;
//因为答案在一个区间内：具有二段性，因此可以用二分答案法。

bool check(int a){
    int num=0;//切出的数量
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        num+=(w[i]/a)*(h[i]/a);//推出的公式
        if(num>=k) return true;
    }
    
    return false;
}


int main()
{
    cin>>n>>k;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>h[i]>>w[i];
    
    int l=1,r=1e5;//答案的区间
    while(l<r)
    {
        int mid=(l+r+1) >>1;
        if(check(mid)) l=mid;//因为求最大值
        else r=mid-1;
    }
    
    cout<<r<<endl;
    return 0;
}

题解

本题注意到随着边长的增加，分的块数就会减小，满足单调递减的性质，考虑用二分出最大的边长。

且答案在一个区间内，因此可以用二分答案的方法，再根据题目求最大值来选出用第二个模板。

本题还需要推出一个可以切出巧克力块数的公式。

机器人跳跃问题

代码

▼
cpp
复制代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
int h[N];

bool check(int e)
{
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        e + = e - h[i];//每次失去或者得到能量
       if (e >= 1e5) return true;//需要注意超过能量最大值的特判
        if (e < 0) return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &h[i]);

    int l = 0, r = 1e5;//
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }

    printf("%d\n", r);

    return 0;
}

题解

本题还是有一定难度的，首先你需要想到可以用二分答案法来写，因为答案在一个区间内，并且不管你是得到还是失去能量都可以用一个表达式来表示，只不过可以是正也可以负值罢了，再去判断是否有一步走了会小于0，如果小于0了就不符合。本题还需要注意不能超出能量最大值。

总结

本文主要介绍了二分法，重点需要掌握二分的两个模板和理解方法，灵活运用到题目中还需大家多做题，增加自己的理解力和敏锐度。预祝各位考出好成绩！

专题二：二分法

专题二：二分法

前言

是什么

模板

查找大于等于/大于key的第一个元素

查找小于等于/小于key的最后一个元素

判断二分的特性

分类

二分思考顺序

力扣704：二分查找

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题解

数的范围

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题解

我在哪？

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题解

分巧克力

代码

题解

机器人跳跃问题

代码

题解

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